Matemática da roda fixa

No site do Gola saiu um post bem interessante sobre a relação entre pinhão, coroa e skids:

A relação da sua roda fixa influência na hora do skid, não só na facilidade de parar a bicicleta mas também na vida do seu pneu traseiro. Existe uma famosa tabela que já passou por vários blogs e mostra os skid spots/skid patches para cada relação, mas como chegamos nesse número sem a tabela?

Imagine uma relação 44×44 (ou seja, coroa de 44 dentes e pinhão de 44 dentes também), para simplificar podemos dizer que é uma relação 1:1 (ou um pra um). Numa relação 1:1 cada volta no pedal/coroa equivale a uma volta completa da roda traseira/pinhão, ou seja, o pneu acompanha o pedal, isso significa que você tem apenas um skid spot/patch. Da mesma forma com uma relação 4:1 (por exemplo 44×11) o pinhão/pneu gira exatamente 4 vezes para cada volta completa da coroa/pedal, isso significa um skid spot/patch, pois por mais que o pneu não acompanhe o pedal, quando o pedal completa uma volta o pneu completa 4 voltas e estará na posição inicial/do começo do giro.

Tá, mas e para relações onde o pneu não da a volta completa a cada pedalada? Suponha agora a relação 44×16. Para cada volta no pedal o pneu da 2.75 voltas (44 / 16 = 2.75). Para voltar à posição inicial do giro precisamos de quantas pedaladas? Vejamos: 2.75 é uma volta no pedal. Duas voltas no pedal significa 2.75 * 2 que é igual a 5.5 voltas, ainda não volta para a posição inicial. Três voltas no pedal = 2.75 * 3 = 8.25, nada ainda. Agora na próxima volta temos 2.75 * 4 = 11, ou seja, depois de quatro voltas/giros no pedal o pneu deu exatamente 11 voltas, isso significa que ele voltou pra posição que estava em relação ao pedal. Isso quer dizer que quando travamos o pedal o pneu pode estar em quatro pontos diferentes, ou seja, temos 4 skid spots/patches.

A matemática por trás disso tudo está na relação de “primacidade” entre o número de dentes da coroa e do pinhão. Se os números de dentes da coroa e do pinhão forem primos entre eles, ou seja, sem divisores comuns, o número de voltas necessárias no pedal para voltar à posição inicial do pneu em relação ao pedal é igual ao número de dentes do pinhão. Por isso no caso da relação 1:1 ou da relação 4:1 o número de skid patches é 1. Voltando para a relação 44×16, os dois números podem ser divididos tanto por 2 quanto por 4, neste caso o jeito é achar o máximo divisor comum dos números e dividir o número de dentes do pinhão pelo MDC, chegando assim no número de skid patches. O MDC de 44 e 16 é 4, 16/4 = 4, portanto, 4 skid patches. Outro jeito de visualizar isso é simplificar a relação: 44:16 = 2.75, se dividirmos os dois números por 2 temos 22:8. Mais uma vez dividindo por 2 temos 11:4, 11 é primo, portanto não podemos mais simplificar a relação, então chegamos no número 4 mais uma vez.

Alguns exemplos para terminar:

46×18: simplificamos para 23×9 (dividindo a relação por 2), como 23 é primo, o número de skid patches é 9.
53×20: 53 é primo, portanto temos 20 skid patches.
50×20: simplificando /2 -> 25×10 /5 -> 5×2, ou seja, 2 skid patches.
48×17: 17 é primo, portanto temos 17 skid patches.

Aliás, se você tiver curiosidade para calcular, nada de tabelinhas, clique aqui.